В каких заданиях егэ есть тригонометрические

В каких заданиях егэ есть тригонометрические

Содержание

Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

где (t) – выражение с иксом, (a) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:

(sin ⁡x=a) (⇔) ( left[ beginx=arcsin a+2πn, n∈Z x=π-arcsin a+2πl, l∈Zendright.)
если (a∈[-1;1])

Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: (sinx=a) , (cosx=a) , (tgx=a) и (ctgx=a) .

Как решать тригонометрические уравнения

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси (y)) отметим точку (-) (frac) .
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: (-) (frac) ,(-) (frac) .
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы (x=t+2πk), (k∈Z):
(x=-) (frac) (+2πk), (k∈Z); (x=-) (frac) (+2πn), (n∈Z)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .

Внимание! Уравнения (sin⁡x=a) и (cos⁡x=a) не имеют решений, если (a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны (-1) и меньше или равны (1):

Пример. Решить уравнение (cos⁡x=-1,1).
Решение: (-1,1 (frac) , (frac)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в (π), то все значения можно записать одной формулой:

Как решать тригонометрические уравнения

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси (x) и (y).
2) На оси косинусов (ось (x)) отметим (0).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: (-) (frac),(frac) .
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

8) Как обычно в уравнениях будем выражать (x).
Не забывайте относиться к числам с (π), так же к (1), (2), (frac) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений:
— Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ).
— Метод разложения на множители .
— Метод вспомогательных аргументов.

Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Сделаем замену (t=cos⁡x).

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .

(D=25-4 cdot 2 cdot 2=25-16=9)

Делаем обратную замену.

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. (cos⁡x∈[-1;1]) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ . Напомню, что котангенс это фактически дробь:

Потому ОДЗ для ctg(x): (sin⁡x≠0).

Как решать тригонометрические уравнения

Отметим «нерешения» на числовой окружности.

Применим формулу двойного угла для синуса: (sin⁡=2sin⁡xcos⁡x).

Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: (x^2+1,5^x)). Вместо этого вынесем (cos⁡x) за скобки.

«Расщепим» уравнение на два.

Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на (2) и перенесем (sin⁡x) в правую часть.

Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем.
Второе уравнение типичное однородное . Поделим его на (sin⁡x) ((sin⁡x=0) не может быть решением уравнения т.к. в этом случаи (cos⁡x=1) или (cos⁡x=-1)).

Опять используем окружность.

Как решать тригонометрические уравнения
(x=) (frac) (+πn), (n∈Z)

Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Как решать тригонометрические уравнения

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Тригонометрия — это один из самых нелюбимых разделов математики среди учеников средней школы. Простейшие тригонометрические уравнения нередко попадаются в бланках заданий единого государственного экзамена. Чтобы успешно сдать ЕГЭ выпускники обязаны знать, как решать подобные задачи.

В тригонометрии нет ничего сложного. Главное, вдумчиво и неспешно изучить теоретические основы темы. Быстро и правильно решать задачи по тригонометрии поможет практика в использовании различных способов поиска ответов.

  • 1 Методы решения
    • 1.1 Похожие статьи

Методы решения

Самый простой, привычный и отработанный способ решения уравнений для любого школьника – это метод подстановки. Данный способ применим и в случае с тригонометрическими равенствами.

Как решать тригонометрические уравнения

Введением новой переменной y вместо cos x, было получено обычное квадратное уравнение. Решить его можно по формулам дискриминанта. Один из найденных корней не удовлетворял условиям задания, так как модуль значения косинуса должен быть меньше или равен нулю.

Еще один способ – это воспользоваться тригонометрическими формулами и разложить уравнение на множители. После приравнять полученные простейшие тригонометрические выражения к нулю и найти значения неизвестной. В примере ниже, была использована формула двойного угла для синуса.

Как решать тригонометрические уравнения

Еще один достаточно легкий и быстрый метод решения – это приведение однородных тригонометрических уравнений к удобному виду.

Как решать тригонометрические уравнения

Последовательно выполняя арифметические действия с обеими частями уравнения, ученик должен получить либо простейшую форму тригонометрических выражений, либо уравнение пригодное для применения метода подстановки или тригонометрических тождеств.

Для дошкольников и учеников 1-11 классов

Рекордно низкий оргвзнос 25 Р.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1 р.п. Мокшан

Исследовательская работа

по математике

«Методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней на заданном промежутке»

Выполнил: Васякин Михаил, ученик 11 класса

МБОУ СОШ №1 р.п. Мокшан

Паркина Наталья Ивановна,

МБОУ СОШ №1 р.п. Мокшан

«Уравнения для меня важнее,

потому что политика — для настоящего,

а уравнения — для вечности»

Альберт Эйнштейн

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических – бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной особенностью тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Долгое время тригонометрию рассматривали как раздел геометрии, и это порождало у школьников неверное представление о тригонометрических функциях, границы применимости которых, к тому же, сводились до минимума.

В настоящее время тригонометрию изучают в курсе алгебры и начал анализа, хотя основное понятие тригонометрической функции в учебной литературе по-прежнему задается геометрическим способом в виду отсутствия у старшеклассников знаний теории рядов. Таким образом, изучение тригонометрических функций, а в дальнейшем и тригонометрических уравнений, в школьном курсе имеет некоторые особенности.

При изучении тригонометрических уравнений в общеобразовательной школе не хватает времени на рассмотрение уравнений, решаемых нетрадиционными способами. Поэтому мне стало интересно рассмотреть решения таких уравнений, тем более такие уравнения я встречал в олимпиадных заданиях и эти знания мне пригодятся в дальнейшем.

С точки зрения стандартных школьных методов решения тригонометрических уравнений, рассмотрю новые методы, не изучаемые в школьном курсе. Заинтересовавшись темой решения тригонометрических уравнений, я самостоятельно стал пробовать решать уравнения из сборников по математике повышенной сложности, сборников олимпиадных задач и понял, что моих знаний не хватает для решения многих типов тригонометрических уравнений. Постараюсь как можно лучше раскрыть методы решения тригонометрических уравнений путем приведения решений таких уравнений.

Процесс нахождения решений тригонометрического уравнения состоит из двух основных этапов: преобразования уравнения до получения простейшего (их системы либо совокупности) и решения последнего (или последних).

В зависимости от вида исходного тригонометрического уравнения, существуют различные методы их решения, и в данной работе подробно рассматривается каждый из них, сопровождается примерами из вступительных экзаменов и пособий для абитуриентов.

Актуальность темы заключается в том, что тригонометрические уравнения включены во вторую часть Единого Государственного Экзамена. Задания такого плана содержат две части: непосредственное решение уравнения, в результате которого получается бесконечное множество корней, и последующий отбор корней на предмет принадлежности конкретному промежутку. Новизна исследования состоит в том, что показана возможность эффективного решения отдельных тригонометрических уравнений.

Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений и уметь правильно отбирать нужные корни.

Поэтому, перед собой я поставил следующую цель:

Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений и способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.

Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.

Предмет исследования — решение тригонометрических уравнений и способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:

1. Рассмотреть различные типы заданий, содержащие тригонометрические уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ, где необходимо выполнить отбор корней, классифицировать их;

2. Определить наиболее рациональный способ отбора корней для каждого типа заданий;

3. Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений из вариантов ЕГЭ;

4. Составить презентацию полученных результатов. Сделать выводы.

При выполнении работы использовались материалы ЕГЭ по математике. Основные источники получения информации: официальные документы, научная и справочная литература.

Видеоурок: Тригонометрические уравнения

Лекция: Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения, что содержат тригонометрические функции.

Какое бы уравнение Вы бы не имели, его необходимо привести к самому простому виду:

cos(x) = a, sin(x) = a, tg(x) = a, ctg(x) = a.

Все уравнения приводятся к наипростейшим с помощью формул, описанных в предыдущих вопросах. Итак, давайте для начала рассмотрим, как решить наипростейшие тригонометрические уравнения.

Уравнения, приводящиеся к виду sin(x) = a

Если Вы получили, что синус некоторого аргументы равен некоторому числу, то данное уравнение имеет следующее решение:

x = (-1) k arcsin (a) + πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Существует несколько базовых ситуаций, к которым могут быть сведены подобные уравнения:

  • sin(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
  • sin(x) = 1, => x = π/2 + 2πk, k ϵ Z.
  • sin(x) = -1, => x = -π/2 + 2πk, k ϵ Z.
  • sin 2 (x) = a => x = ±arcsin + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Как решать тригонометрические уравнения

Уравнения, приводящиеся к виду cos(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида cos(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = ±arccos (a) + 2πk, k ϵ Z, |a| ≤ 1.

Базовые примеры:

  • cos(x) = 0, => x = π/2 + πk, k ϵ Z.
  • cos(x) = 1, => x = 2πk, k ϵ Z.
  • cos(x) = -1, => x = π + 2πk, k ϵ Z.
  • cos 2 (x) = a => x = ±arccos + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Как решать тригонометрические уравнения

Уравнения, приводящиеся к виду tg(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида tg(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = arctg (a) + πk, k ϵ Z, a ϵ R.

Базовые примеры:

  • tg(x) = 0, => x = πk, k ϵ Z.
  • tg(x) = 1, => x = π/4 + πk, k ϵ Z.
  • tg(x) = -1, => x = — π/4 + 2πk, k ϵ Z.
  • tg 2 (x) = a => x = ±arctg + πk, k ϵ Z, a ϵ [0;1].

Как решать тригонометрические уравнения

Уравнения, приводящиеся к виду ctg(x) = a

Если в результате преобразований тригонометрического уравнения Вы получили уравнения вида ctg(x) = a, то общее решение данного уравнения имеет вид:
x = arcctg (a) + πk, k ϵ Z, a ϵ R.

Содержание

Понятие о тригонометрическом уравнении.

Уравнение называется тригонометрическим, если в нём содержится любая тригонометрическая функция.

Например, уравнения $sin – 1 = 0$, $1-2cos=4$ и $sqrtsin-2cos=0$ тригонометрические, а $2-x=0$ – нет.

В силу того, что тригонометрическая функция периодична, тригонометрические уравнения имеют множество решений или не имеют их вообще.

Под решением тригонометрического уравнения понимается такой набор чисел $x$, который при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Существуют 2 основных способа решения тригонометрических уравнений:

  • графический способ, который заключается в том, что строятся графики левой и правой части уравнения и ищутся точки их пересечения;
  • аналитический способ, суть которого заключается в применении специальных формул.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями мы будем понимать тригонометрические уравнения, в левую часть которых входит только либо синус, либо косинус, а в правую – одно из чисел: $-1; 0; 1$.

Решим несколько простейших тригонометрических уравнений.

1. $sin = 1$

Начертим два графика: $y=sin$ и $y=1$

Как решать тригонометрические уравнения

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Как решать тригонометрические уравнения

Это только одна точка: $frac$. Периодом синуса является $2pi$, так что получаем ответ:

$x = frac+ 2pi n, n in mathbb$.

2. $cos = 0$

Начертим два графика: $y=cos$ и $y=0$

Как решать тригонометрические уравнения

Видим, что количество точек пересечения достаточно велико, а, значит, необходимо выявить закономерность. Так как тригонометрические функции являются периодическими, то все точки, попавшие на 1-ый положительный период, будут периодически повторятся. Рассмотрим решения, попавшие на 1-ый период:

Как решать тригонометрические уравнения

Видим, что получается 2 решения, попадающих «на период»: $x_=frac$ и $x_=frac$.

Две точки решения получаются только у функций синус и косинус. Так как тангенс и котангенс монотонные (и на периоде в том числе), то они имеют лишь только одну точку пересечения с прямой $y=a$.

Получены два решения:

которые можно попытаться объединить в одно.

Не все решения можно объединить в одно. Если это невозможно, то в ответ выписываются 2 решения.

Проверим расстояние между всеми точками (обычно достаточно проверить расстояние между 4 точками), чтобы убедиться, что объединение возможно. Несложно увидеть, что в нашем случае оно всегда равно $pi$. Тогда наши решения объединяются в одно и мы получаем ответ:

$x = frac+ pi n, n in mathbb$

Таблица решений простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение $f(x) = sin$ $f(x) = cos$
$f(x)=1$ $x = frac+ 2pi n$ $x =2pi n$
$f(x)=0$ $x = pi n$ $x = frac+ pi n$
$f(x)=-1$ $x = — frac+ 2pi n$ $x = pi + 2pi n$

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinx\vee a,

 cosx\vee a,

 tgx\vee a,

ctgx\vee a,

где \vee – один из знаков <,\;>,\;\leq,\;\geq, a\in R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: cosx<\frac{1}{2}.

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов \frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие \frac{1}{2},левее точки \frac{1}{2} на оси косинусов.

87

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше \frac{1}{2}.

ен

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки \frac{\pi}{3} до \frac{5\pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку \frac{\pi}{3}, вместо второй точки  \frac{5\pi}{3}  указывают точку -\frac{\pi}{3}, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z.

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2\pi n,\;n\in Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.

Решить неравенство: cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов -\frac{\sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -\frac{\sqrt2}{2}правее точки -\frac{\sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что  cosx\geq -\frac{\sqrt2}{2}.

г-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z.

Пример 3.

Решить неравенство: sinx\geq -\frac{\sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -\frac{\sqrt3}{2}.

Все значения sinx, большие или равные -\frac{\sqrt3}{2},выше точки -\frac{\sqrt3}{2}, включая саму точку.

67

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

6 -\frac{\pi}{3}+2\pi n \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\;n\in Z

Пример 4.

Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

л

\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z

или все x, кроме \frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Пример 5.

Решить неравенство: sinx\geq 1.

Решение:

Неравенство sinx\geq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx[-1;1].

78н

x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\;n\in Z.

Свойства логарифмов, формулы | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-02-18 2013-07-07

Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Обозначение читается как логарифм по основанию .

Например, , так как  (2 – основание степени, 3 – показатель степени).

Логарифмы

Определение
Основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

Чаще всего используют логарифмы с основаниями (натуральный логарифм, например, ), (десятичный, например, ) и (двоичный).

Автор: egeMax | комментариев 12 | Метки: Логарифмы, шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

Логарифмы. Единые государственные экзамены, ЕГЭ по математике: уроки, тесты, задания.

1. Вычисление десятичного логарифма

Сложность: лёгкое

1
2. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1
3. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1
4. Применение свойств логарифмов
Сложность: лёгкое
1
5. Применение свойств логарифмов

Сложность: лёгкое

3
6. Формула перехода логарифма к новому основанию

Сложность: лёгкое

1
7. Использование основного тождества логарифмов

Сложность: среднее

2
8. Сравнение логарифмов

Сложность: лёгкое

1
9. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

1
10. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

2
11. Определение основания логарифма Сложность: среднее 2
12. Логарифмическое уравнение,определение логарифма

Сложность: лёгкое

1
13. Логарифмическое уравнение,определение логарифма

Сложность: лёгкое

3
14. Логарифмическое уравнение(неизвестно основание)

Сложность: среднее

4
15. Логарифмическое уравнение(произведение равно 0)

Сложность: среднее

2
16. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)
Сложность: среднее
4
17. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)

Сложность: среднее

3
18. Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате)

Сложность: среднее

3
19. Логарифмическое уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

4
20. Логарифмическое уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

5
21. Логарифмическое уравнение (разлож. на множит.)

Сложность: среднее

5
22. Логарифмическое уравнение с тригонометрией

Сложность: сложное

7
23. Логарифмическое уравнение (графический способ)

Сложность: сложное

3
24. Логарифмическое неравенство(основание меньше 1)

Сложность: лёгкое

1
25. Логарифмическое неравенство (квадратичное)

Сложность: среднее

2
26. Логарифмическое неравенство (квадратичное)

Сложность: среднее

2
27. "Ц-Уровень" Логарифмическое неравенство

Сложность: сложное

1

www.yaklass.ru

Логарифмы. Единые государственные экзамены, ЕГЭ по математике: уроки, тесты, задания.

1. Вычисление десятичного логарифма

Сложность: лёгкое

1 2. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1 3. Вычисление логарифма

Сложность: лёгкое

1 4. Применение свойств логарифмов
Сложность: лёгкое 1 5. Применение свойств логарифмов

Сложность: лёгкое

3 6.
Формула перехода логарифма к новому основанию

Сложность: лёгкое

1 7. Использование основного тождества логарифмов

Сложность: среднее

2
8. Сравнение логарифмов

Сложность: лёгкое

1 9. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

1 10. Нахождение области определения логарифма

Сложность: среднее

2 11. Определение основания логарифма Сложность: среднее 2 12. Логарифмическое уравнение,определение логарифма

Сложность: лёгкое

1
13. Логарифмическое уравнение,определение логарифма

Сложность: лёгкое

3 14. Логарифмическое уравнение(неизвестно основание)

Сложность: среднее

4 15. Логарифмическое уравнение(произведение равно 0)

Сложность: среднее

2 16. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)
Сложность: среднее 4 17. Логарифмическое уравнение (свойства логарифмов)

Сложность: среднее

3
18. Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате)

Сложность: среднее

3 19. Логарифмическое уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

4 20. Логарифмическое уравнение (новая переменная)

Сложность: среднее

5 21. Логарифмическое уравнение (разлож. на множит.)

Сложность: среднее

5 22. Логарифмическое уравнение с тригонометрией

Сложность: сложное

7 23. Логарифмическое уравнение (графический способ)

Сложность: сложное

3 24. Логарифмическое неравенство(основание меньше 1)

Сложность: лёгкое

1 25. Логарифмическое неравенство (квадратичное)

Сложность: среднее

2 26. Логарифмическое неравенство (квадратичное)

Сложность: среднее

2 27. "Ц-Уровень" Логарифмическое неравенство

Сложность: сложное

1

Логарифмические выражения

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо  всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный.  Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

При возведении в степень произведения в эту же степень возводится каждый множитель.

Так же необходимо знать следующее свойство:

Рассмотрим примеры:

*Данный контент (более 20 подробно решённых примеров) доступен только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении  простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Логарифмы в ЕГЭ - Математика

Тема урока: Логарифмы в заданиях ЕГЭ.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - 
что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Г.Лейбниц

ТИП УРОКА: Закрепление и совершенствование знаний.

ЦЕЛИ:

Дидактическая - Повторить и закрепить свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ С1 и С3;

Развивающая - Развитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжить формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать;

Воспитательная - Формировать навыки общения, умения работать в коллективе.

Способствовать воспитанию познавательного интереса к математике 

Оборудование:

  • Персональный компьютер у учителя.

  • Мультимедийный проектор, экран.

  • Презентация к уроку.

  • Ноутбуки для учащихся с тестами самоконтроля.

  • Раздаточный материал: сопроводительный лист с заданиями и оценочной таблицей, справочный материал.

 Формы работы: фронтальная, индивидуальная, коллективная.

Основные этапы урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация.

  3. Формулирование темы урока, постановка целей и задач урока.

  4. Закрепление знаний.

  5. Физкультминутка.

  6. Усвоение знаний.

  7. Подведение итогов урока.

  8. Инструктаж по домашнему заданию.

  9. Рефлексия.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Наш урок я хочу начать со слов американского математика Айвена Нивена:

Нельзя изучать математику, наблюдая за тем, как это делаем сосед…” (слайд 1)

Чтобы оценить свою работу на уроке у вас на сопроводительных листах есть оценочная таблица (слайд 2). Отмечайте, количество баллов, которое вы себе поставите после каждого этапа урока.

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ

Какова тема урока?

(Ответ: Свойства логарифмов. Подготовка в ЕГЭ)

Какова цель урока?

(Ответ: Подготовиться к ЕГЭ)

Какие задачи для этого нам нужно выполнить?

(Ответ: 1. Вспомнить свойства логарифмов, свойства степеней, решение простейших логарифмических уравнений

2. Научиться решать лог. уравнения повышенной сложности)

3. Развитие внимания, мышления, памяти.

4. Воспитание познавательного интереса к математике.

3. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Проанализировать: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

Базовый-5,7-преобразования лог.выражений, простейшие логарифмические уравнения

Профильный 3,5,10,12-преобразование логарифмических выражений, уравнения, задачи физического содержания, связанные с логарифмами, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

С-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм

С-3 – система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На данном этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только вспоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания ЕГЭ.

  1. Начнем с того что дадим определение логарифма.

  2. Какие вы знаете свойства логарифма? (и условия ?)

1. logb b = 1
2. logb 1 = 0, 3. logc (ab) = logc a + logc b.
4. logc (a:b) = logc a – logc b.
5.  logc (b ) = k * logc 

6= 

7.   

3) Что такое десятичный логарифм? ()

4) Что такое натуральный логарифм? ()

5) Что такое число е?

6) Чему равна производная от ? ()

7) чему равна производная ln x ?

5. УСТНАЯ РАБОТА для всех обучающихся

Вычислить устно: (задания В-11)

=

 =

 =

=

15

2

1

144

-1/2

6. Самостоятельная деятельность учащихся по решению заданий

Решение уравнений с последующей проверкой

Решите уравнения (первые два уравнения проговаривают устно, а остальные решает самостоятельно весь класс и записывает решение в тетрадь):

(Пока ученики работают на месте самостоятельно, к доске выходят 3 ученика и работают по индивидуальным карточкам)

После проверки с места 3-5 уравнений, ребятам предлагается доказать, что уравнение  не имеет решения (устно)

7. Решение В-10 - (задачи физического содержания, связанные с логарифмами)

Весь класс решает задачу (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает аналогичную задачу самостоятельно)  

На­хо­дя­щий­ся в воде во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий  моля воз­ду­ха при дав­ле­нии  ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем  (Дж), где  – по­сто­ян­ная,  – тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха,  (атм) – на­чаль­ное дав­ле­ние, а  (атм) – ко­неч­ное дав­ле­ние воз­ду­ха в ко­ло­ко­ле. До ка­ко­го наи­боль­ше­го дав­ле­ния  можно сжать воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха со­вер­ша­ет­ся ра­бо­та не более чем 6900 Дж? Ответ при­ве­ди­те в ат­мо­сфе­рах.(6)

8. УСТНАЯ РАБОТА (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке.

Работа на доске и в тетради.

(прототип В15 - ЕГЭ)

9 Блиц-опрос.

И напоследок проверим себя, насколько каждый владеет определением и свойствами логарифмов (слайд 16). В сопроводительных листах необходимо ответить только «да» или «нет».

Подлогарифмическое выражение всегда должно быть больше нуля.

да

Основание логарифма всегда строго больше нуля.

нет

Логарифм частного равен разности логарифмов.

да

Логарифм произведения равен произведению логарифмов.

нет

Если подлогарифмическое выражение записано в виде степени, то показатель можно вынести вперед и умножить на логарифм основания.

да

10.Мини-тест с самоконтролем на ноутбуках

Тест

1 вариант

2 вариант

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Найдите наибольшее значение функции 

Найдите наименьшее значение функции 

Ключи к тесту

№1

№2

№3

№4

№5

№6

Вариант №1

250

49

4

-8

3

8

Вариант №2

63

144

13

-22

7

3

Ребята меняются друг с другом работами и выступают в роли экспертов.

10. Решение заданий С1

Учащиеся выполняют задание, 1 человек работает у доски.

а) Решите уравнение  

б) найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (;3)

12. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что аналогичные задания были рассмотрены на уроке. Учащиеся внимательно прослушав пояснения учителя, записывают домашнее задание.

ФИПИ (открытый банк заданий: раздел геометрия, 6-я страница)

uztest.ru (преобразование логарифмов)

С3 – задание второй части ЕГЭ

13. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Сегодня на уроке мы повторили свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепили методы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; рассмотрели задачи физического содержания, связанные с логарифмами; решали задачи С1 и С3, которые предлагаются на ЕГЭ по математике в прототипах В7, В11, В12, В15, С1 и С3.

Выставление оценок.

multiurok.ru

Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Предыдущую статью о показательных уравнениях мы начали с уравнения 2x = 8. Там всё было ясно: x = 3.

А теперь рассмотрим уравнение 2x = 7.

По графику функции y = 2x мы видим, что это уравнение имеет корень, и притом единственный.


Ясно, что этот корень — не целое число (так как 22 = 4, 23 = 8). Более того, оказывается, что он не является даже рациональным числом, т. е. не представляется в виде обыкновенной дроби. Интуитивно мы чувствуем лишь, что он меньше 3, но не намного.

Этот корень обозначается log27 (читается: «логарифм семи по основанию два». Он является иррациональным числом, т. е. бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор даёт: log27 = 2,807354922057604107...

Итак, наше число log27 — это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Теперь дадим общее определение логарифма. Пусть a > 0 и a ≠ 1 (условия те же, что и для основания показательной функции).

Определение. Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Иными словами,


Например:

  так как  

, так как 

  так как  ;

, так как  .

Логарифм с основанием 10 называется десятичным и обозначается lg. Например, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.

Логарифм с основанием e называется натуральным и обозначается ln.

Обратите внимание: логарифм определён только для положительных чисел. Причина заключается в том, что показательная функция может принимать лишь положительные значения. Например, число log2(−4) не существует: в какую бы степень мы ни возводили 2, мы никогда не получим −4.

Не забывайте также про ограничения на основание логарифма: 0 1.

Основные формулы

По определению, logab — это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b:

Формула (1) называется основным логарифмическим тождеством.
Вот ещё один вариант записи определения логарифма:

logaax=x.

Перечислим свойства логарифмов. Они являются простыми следствиями правил действия со степенями. Все логарифмы ниже считаются определёнными.

Логарифм произведения — это сумма логарифмов:

loga(bc) = logab + logac. (2)

Логарифм частного — это разность логарифмов:

Показатель степени логарифмируемого числа «спрыгивает» перед логарифмом:

Показатель степени основания логарифма тоже «спрыгивает», но в виде обратного числа:

Формулы (4) и (5) вместе дают:

В частности, если m = n, мы получаем формулу:

Например, .

Наконец, важнейшая формула перехода к новому основанию:

В частности, если c = b, то logbb = 1, и тогда:

Задача 5

Приведём несколько примеров из банка заданий.
1. (применили формулу (2) суммы логарифмов).

2. (применили основное логарифмическое тождество(1))

3. (применили формулу (4).

4. (применили формулу (9), перейдя к новому основанию 0,8).

5. (применили формулу (3) разности логарифмов)

Немного истории

Теперь вы поняли, что такое логарифмы и как ими пользоваться. Но для чего они всё-таки нужны? Или это просто такая математическая игрушка с хитрой инструкцией по применению?

Понятие логарифма и логарифмические таблицы появились в 17 веке, и значение их было огромно.

Это в наши дни вычисления не представляют труда — у каждого есть калькулятор. А как считали в «докомпьютерные» времена?

Складывать и вычитать можно было на счётах, а вот умножать и делить приходилось «в столбик» — медленно и трудно.

В 15–17 веках, в эпоху великих географических открытий, стали бурно развиваться торговля, экономика и наука. Требования к математике росли: расчёты становились более сложными, а точность — например, для решения навигационных задач — нужна была всё более высокая.

Необходим был инструмент, позволяющий упростить и ускорить расчёты, и таким инструментом явились логарифмы.

Предположим, что b и c — большие числа, которые надо перемножить. Появление таблиц логарифмов (например, с основанием 10) существенно упростило эту задачу. Теперь вычислителю достаточно было найти по таблицам десятичные логарифмы чисел b и c, сложить их (на счётах) и получить логарифм произведения: lgb + lgc = lg(bc).

А затем по таблице логарифмов найти само произведение чисел b и c.

Недаром французский математик и астроном Лаплас сказал, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителей. Логарифмическая линейка (которой инженеры пользовались до 70-х годов двадцатого века) была не менее прогрессивным изобретением, чем современный калькулятор.

Но это еще не всё! Мы не занимались бы логарифмами, если бы они имели лишь историческую, «музейную» ценность. О неожиданных применениях логарифмов мы расскажем в следующей статье, посвящённой логарифмической функции.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Решение простейших тригонометрических уравнений

Пример 1. Найдите корни уравнения

    \[ \cos\left(4x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}, \]

принадлежащие промежутку [-\pi;\pi).

Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем k,\,n\in Z (на всякий случай, эта запись означает, что числа n и k принадлежат множеству целых чисел):

    \[ 4x+\frac{\pi}{4}=\pm\operatorname{arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}+2\pi k. \]

Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка [0;2\pi], косинус которого был бы равен -\frac{\sqrt{2}}{2}. Это число \frac{3\pi}{4}. Используя это, получаем:

    \[ 4x+\frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, \\ x = -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.\end{array}\right. \]

Вообще, значения тригонометрических функций от основных аргументов нужно знать. Их совсем чуть-чуть:

Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы таблица значений

Таблица значений тригонометрических функций

Хотя на самом деле запоминать их вовсе не обязательно. Существует очень простой алгоритм, используя который, можно в уме легко вычислять значения тригонометрических функций всех основных аргументов. Просто у каждого он свой. Придумайте его и для себя. Просто посмотрите на эту таблицу. Числа в ней расположены не случайным образом, определенная закономерность есть, постарайтесь ее найти.

Итак, вернемся к нашему заданию. Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку [-\pi;\pi). Воспользуемся для этого методом двойных неравенств. Вы помните, что k и n — целые числа:

1) -\pi\leqslant\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow -1\leqslant \frac{1}{8}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow  -\frac{9}{4}\leqslant k<\frac{7}{4}\Leftrightarrow k = -2,\,-1,\,0,\,1\Leftrightarrowx=-\frac{7\pi}{8},\,-\frac{3\pi}{8},\,\frac{\pi}{8},\,\frac{5\pi}{8}.

2) -\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}<\pi \Leftrightarrow-1\leqslant -\frac{1}{4}+\frac{k}{2}<1\Leftrightarrow-\frac{3}{2}\leqslant k<\frac{5}{2}\Leftrightarrowk = -1,\,0,\,1,\,2\Leftrightarrowx=-\frac{3\pi}{4},\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4}.

Задача для самостоятельного решения №1. Найдите корни уравнения \sin\left(\frac{4x}{3}+\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{1}{2}, принадлежащие промежутку [-2\pi;2\pi).

Показать ответ

Ответ:

\left \{-\frac{\pi}{4}+\frac{3\pi k}{2},\,-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}\right\}.

-\frac{7\pi}{4},\, -\frac{3\pi}{4},\, -\frac{\pi}{4},\, \frac{3\pi}{4},\, \frac{5\pi}{4}.

Решение линейных тригонометрических уравнений

Пример 2. Найдите корни уравнения

    \[ \sin x+\sqrt{3}\cos x=1, \]

принадлежащие промежутку [-2\pi;4\pi].

Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на 2, уравнение тогда примет вид:

    \[ \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1. \]

Подберем такое число, синус которого равен \frac{1}{2}, а косинус равен \frac{\sqrt{3}}{2}. Например, пусть это будет число \frac{\pi}{6}. С учетом этого перепишем уравнение в виде:

    \[ \sin\frac{\pi}{6}\sin x+\cos\frac{\pi}{6}\cos x=\frac{1}{2}. \]

Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности x и \frac{\pi}{6}. Это и есть ключ к решению. Имеем:

    \[ \cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi k, \\ x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток [-2\pi;4\pi).:

1) -2\pi\leqslant\frac{\pi}{2}+2\pi k\leqslant 4\pi \Leftrightarrow -2\leqslant \frac{1}{2}+2k\leqslant 4\Leftrightarrow  -\frac{5}{4}\leqslant k\leqslant \frac{7}{4}\Leftrightarrow k = -1,\,0,\,1\Leftrightarrowx=-\frac{3\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{5\pi}{2}.

2) -2\pi\leqslant-\frac{\pi}{6}+2\pi n\leqslant 4\pi \Leftrightarrow -2\leqslant -\frac{1}{6}+2n\leqslant 4\Leftrightarrow  -\frac{11}{12}\leqslant n\leqslant \frac{25}{12}\Leftrightarrow n = 0,\,1,\, 2\Leftrightarrowx=-\frac{\pi}{6},\,\frac{11\pi}{6},\,\frac{23\pi}{6}.

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите корни уравнения \sqrt{3}\sin x+\cos x=1, принадлежащие промежутку [-3\pi;3\pi].

Показать ответ

Ответ:

\left \{2\pi k,\, \frac{2\pi}{3}+2\pi n\right\}.

0,\,-2\pi,\,-\frac{4\pi}{3},\, \frac{2\pi}{3},\, 2\pi,\, \frac{8\pi}{3}.

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Пример 3. Дано уравнение \operatorname{tg}^2 x+5\operatorname{tg} x+6=0.

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезке \left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Сразу оговорим ограничения, накладываемые на переменную x в этом уравнении: x\ne\frac{\pi}{2}+\pi n. Откуда взялось это ограничение? Правильно, функция y=\operatorname{tg} x не существует при этих значениях x. Используем замену переменной: t=\operatorname{tg} x. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ t^2+5t+6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=-3, \\t=-2.\end{array}\right. \]

Переходим к обратной замене:

    \[ \left[\begin{array}{l}\operatorname{tg}x = -3,\\ \operatorname{tg}x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\operatorname{arctg} 3+\pi k, \\ x=-\operatorname{arctg} 2+\pi n.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений. Проведем его на этот раз с использованием единичной окружности.

Решение тригонометрического уравнения, содержащего тангенсы, с помощью единичной окружности

Отбор корней с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi. Обратите внимание на один существенный момент. На рисунке точки -2 и -3 принадлежат оси тангенсов, а точки -\operatorname{arctg} 2,-\operatorname{arctg} 3,-\operatorname{arctg} 2-\pi и -\operatorname{arctg} 3-\pi — единичной окружности. Очень важно понимать, зачем это нужно для решения данной задачи.

Ответ: -\operatorname{arctg} 2-\pi, -\operatorname{arctg} 3-\pi.

Задача для самостоятельного решения №3. Дано уравнение 6\cos^2x-7\cos x-5=0.

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-\pi;2\pi].

Показать ответ

Ответ:

\left \{\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \right\}.

-\frac{2\pi}{3},\,\frac{2\pi}{3},\,\frac{4\pi}{3}.

Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители

Пример 4. Дано уравнение

    \[ \sin 2x=2\sin x-\cos x+1. \]

a) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].

Решение. Равносильными преобразования приводим уравнение к виду:

    \[ \sin 2x=2\sin x-\cos x+1\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x\cos x-2\sin x+\cos x-1=0\Leftrightarrow \]

    \[ 2\sin x(\cos x-1)+\cos x-1 =0\Leftrightarrow \]

    \[ (\cos x-1)(2\sin x+1) = 0\Lefrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos x-1=0, \\ 2\sin x+1=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}\cos x=1, \\ \sin x=-\frac{1}{2} \end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\pi k, \\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n, \\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi z.\end{array}\right. \]

Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности.

Отбор решений с помощью единичной окружности решение задачи C1

Отбор решений с помощью единичной окружности

Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из всех этих серий: -\frac{5\pi}{6},\,-2\pi.

Задача для самостоятельного решения №4. Дано уравнение

    \[ 3\sin 2x-4\cos x+3\sin x-2=0. \]

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].

Показать ответ

Ответ:

\left \{\operatorname{arcsin}\frac{2}{3}+2\pi k,\, \pi-\operatorname{arcsin}\frac{2}{3}+2\pi n,\,\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi z\right\}.

\frac{2\pi}{3},\,\pi-\operatorname{arcsin}\frac{2}{3},\,\frac{4\pi}{3}.